กำลังการทำนายและขนาดกลุ่มตัวอย่าง

วิจัย สถิติ, คณิตศาสตร์ No Comments »

กำลังการทำนายและขนาดกลุ่มตัวอย่าง
       มีองค์ประกอบสองประการที่มีส่วนในการออกแบบการศึกษาวิจัย และการตีความผลทางสถิติ  ได้แก่ขนาดของกลุ่มตัวอย่าง  สำหรับการออกแบบ และกำลังในการทดสอบทางสถิติ  ในการหาขนาดกลุ่มตัวอย่างที่เหมาะสม  ซึ่งมีองค์ประกอบ 4 อย่างที่ที่จะต้องพิจารณา

  1. ระดับนัยสำคัญ (a)
  2. กำลังของการทดสอบ (1-b)
  3. ค่าผิดพลาดของประชากร ความแปรปรวน (s2)
  4. ค่ายังผลคือ effect size (ES)

โอกาสที่ทำให้เกิดข้อผิดพลาด Type I (reject H0 เมื่อเป็นจริง) เรียกว่าเป็นระดับ

ของนัยสำคัญกำหนดด้วย a  โอกาสทำให้เกิดข้อผิดพลาด Type II (ล้มเหลวในการ reject H0 เมื่อไม่จริง) กำหนดด้วยค่า b   ขณะที่ค่า a กำหนดไว้ก่อนโดยนักวิจัย การหาค่า b ต้องการค่าเฉพาะอย่างหนึ่งจาก alternative hypothesis (Ha)  ทันทีระบุค่า Ha ได้ ทำให้สามารถหาค่า b และกำลังการทดสอบซึ่งกำหนดด้วยค่า 1- b   มีความสัมพันธ์ในทางที่กลับกันระหว่าง a และ b   นั่นคือขณะที่ a เพิ่มขึ้น b ลดลง  ดังนั้นโอกาสที่จะลดโอกาสที่จะทำให้เกิดความผิดพลาดทั้งสอง Type I และ Type II จะต้องมีการจัดการกับค่าบางค่า  ที่ต้องพิจารณาอย่างหนึ่งคือความเข้มข้นหนักเบาในการเกิดความผิดพลาด Type I  เมื่อมีผลทำให้เกิดพิดพลาดไม่มากเกินไป  อาจใช้ระดับค่า a ที่สูงขึ้น ที่ทำให้ผลของระดับ b ที่ลดลง

                   มีแฟคเตอร์หลายทางที่มีผลต่อกำลังการทดสอบดังนี้ (1) ธรรมชาติของทิศทางของสมมุติฐาน Ha  (2) ระดับของนัยสำคัญ (3) ขนาดของกลุ่มตัวอย่าง (4) ขนาดยังผลหรือ effect size   ตัวอย่างเช่นเมื่อเมื่อแฟคเตอร์อื่นๆ ทำให้คงที่ directional alternative hypothesis จะมีกำลังในการทดสอบมากกว่า nondirectional alternative hypothesis  ประการที่สองเมื่อ a เพิ่มขึ้นกำลังการทดสอบเพิ่มขึ้น  ประการที่ 3 เมื่อขนาดกลุ่มตัวอย่างเพิ่มขึ้น ค่าผิดพลาดมาตราฐานลดลง และกำลังการทดสอบเพิ่มขึ้น  ประการสุดท้าย effect size ซึ่งกำหนดให้เป็นองศาที่มีปรากฏการณ์มีอยู่ในประชากร มีอิทธิพลต่อกำลังการทดสอบ ที่ซึ่ง effect size เพิ่มขึ้น (ค่าของ Ha ต่างไปจากค่า H0) กำลังการทดสอบก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน 

          มีสูตรที่ใช้ในการหาทั้งกำลังการทดสอบและขนาดกลุ่มตัวอย่าง  ค่าทั้งสองควรจะได้หาไว้ก่อนที่จำทำการศึกษา  ในการหาขนาดกลุ่มตัวอย่างที่เหมาะสม  จะต้องนำแฟคเตอร์ทั้ง 4 ที่กล่าวถึงแล้วมาประกอบการพิจารณา  ระดับนัยสำคัญ a จะหาไว้ก่อนโดยผู้ทำวิจัย  ในการหากำลังการทดสอบ b ควรจะได้กำหนดไว้เป็น 4 เท่าของ a  ส่วนค่าความแปรปรวนความผิดพลาดของประชากร (s2) สามารถที่จะสร้างขึ้นจากการศึกษาที่ผ่านมา หรือค่า standard effect size สามารถที่จะนำมาใช้ได้

          ขณะที่แต่ละแฟคเตอร์ได้รับการพิจารณาความสำคัญในการหาขนาดกลุ่มตัวอย่างที่เหมาะสม มีข้อแย้งว่า effect size มีอิทธิพลสูงสุด  ยิ่งกว่านั้นยังโต้แย้งเกี่ยวกับปัญหาของขนาดกลุ่มตัวอย่างที่เหมาะสม อาจหาคำตอบได้โดยไม่พิจารณาเรื่องที่ซับซ้อนในการหา effect size

 

การทดสอบสมมุติฐานค่า Mean สำหรับกลุ่มตัวอย่างสองกลุ่ม

วิจัย สถิติ, คณิตศาสตร์ No Comments »


             Null Hypothesis สำหรับกลุ่มตัวอย่างสองกลุ่มสัมพันธ์กับความแตกต่างระหว่างพารามีเตอร์ของสองกลุ่มประชากรตัวอย่างเช่นสมมุติฐานไร้นัยสำคัญ (Null Hypothesis) สำหรับสองกลุ่มตัวอย่างสำหรับ Mean คือ  H0: m1 = m2 หรือเขียนอีกอย่างได้คือ H0 = m1 - m2 ขั้นตอนในการทดสอบสมมุติฐาน  และการหาช่วงความเชื่อมั่น  หลักเกณท์และขั้นตอนนี้เกี่ยวข้องกับการหาสถิติของการแจกแจง ระดับของนัยสำคัญ (Significance) ทิศทางและ ธรรมชาติของสมมุติฐานอื่น
          ในการทดสอบ Null Hypothesis ของกลุ่มตัวอย่างสองกลุ่ม  ตัองการ Assumption ของการเป็นอิสระ  ภายใต้ assumption  Subjectในแต่ละกลุ่มตัวอย่างต้องสุ่มแบบ random มาจากประชากร  แล้วกำหนดให้กับทั้งสองเงื่อนไขแบบ random ตัวอย่างเช่น subject อาจสุ่มแบบ random กำหนดให้แต่ละกลุ่มควบคุม  และกลุ่มทดลอง  การที่กำหนดให้มีการสุ่มแบบ random ก็เพื่อให้แน่ใจว่าทั้งสองกลุ่มนั้นเทียบเท่ากันก่อนที่การศึกษาจะเริ่มขึ้น  และเพราะ treatment ที่ให้จะไม่มีผลการแตกต่างระหว่างสองกลุ่มจากสถานะการเริ่มต้น  การทดสอบสมมุติฐานภายใต้ assumption ของความอิสระเรียกว่า Independent t-test
          assumption ประการที่สองสำหรับกลุ่มตัวอย่างสองกลุ่มคือ homogeneity ของ variance นั่นคือ variance ของทั้งสองประชากรนั้นจะต้องเท่ากัน(s1= s22 )  เมื่อเราทราบ variance ของประชากร  การแจกแจงปกติจะถูกนำมาใช้  นอกจากนี้การแจกแจงแบบ r ด้วยค่า degree of freedom  n1 + n2 – 2 ค่าเบี่ยงเบนมาตราฐานในการแจกแจงแบบกลุ่มของความแตกต่างระหว่าง Mean ซึ่งก็คือค่าผิดพลาดมาตราฐานของ Mean
          สูตรทั่วไปในการหาค่า test statistics เขียนได้ดังนี้
           test statistic  =    (statistic - parameter) / standard error of the statistic
          ค่าสถิติคือค่าที่สังเกตได้ระหว่างความแตกต่างระหว่างค่า Mean ของทั้งสองกลุ่มตัวอย่าง (X1-X2)   ขณะพารามีเตอร์เป็นความแตกต่างระหว่าง Mean ของสองกลุ่มประชากร
m1-m2 ซึ่งค่านี้มีค่าเป็น 0 ภายใต้สมมุติฐาน Null hypothesis  สูตรทั่วไปสำหรับค่าความเชื่อมั่นที่ใช้ในกรณีสองกลุ่มตัวอย่างคือ
            CI  statistic  -+ (critical value)*(standard error of the statistic)
          เมื่อ Null hypothesis ไม่ถูก reject ช่วงความเชื่อมั่นจะไม่มีค่าเป็นไปตามสมมุติฐาน
m1-m2 = 0 ในอีกทางหนึ่งถ้า Null hypothesis ไม่ถูก reject ค่า 0 จะอยู่ในช่วงของความเชื่อมั่น 
          การทดสอบจะให้ผลไม่ถูกต้องในการใช้ Independent t-test หากไม่เป็นไปตาม assumption ของ homogenity ของ variance  โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อขนาดของกลุ่มตัวอย่างทั้งสองไม่เท่ากัน สำหรับสถานะการเช่นนี้  จะมีสูตรอื่นสำหรับความแตกต่างของค่าผิดพลาดมาตราฐาน  นอกจากนี้แล้วยังใช้วิธีการในการหาค่า degree of freedom แตกต่างกันสำหรับ t-test

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อื่นๆ

วิจัย สถิติ, คณิตศาสตร์ No Comments »

การพิจารณาเลือกสัมประสิทธิสหสัมพันธ์ที่เหมาะสมคือระดับของการวัดตัวแปรที่จะนำมาสัมพันธ์กัน  มีมาตรวัดสามประการที่จะพิจารณา สำหรับมาตรนามบัญญัติ (nominal scale) เราจะแบ่งแยกตัวแปรหนึ่งด้วยสองระดับ อีกตัวแปรหนึ่งมากกว่าสองระดับ  ตัวแปรนามบัญญัติที่มีสองระดับเรียกว่า dichotomy โดยการจัดกลุ่มแล้วจำแนกได้ว่ามีหรือ ไม่มีอยู่ของคุณสมบัติเฉพาะหนึ่ง  ในมาตรวัดแบบลำดับ (ordinal scale) ซึ่งมีค่าเป็น rank หรือมีค่าเป็นลำดับชั้น   ในกรณีพิเศษที่จะกล่าวถึงต่อไปเป็นตัวแปรแบบ dichotomy ที่กำหนดให้มีค่าต่อเนื่องและแจกแจงแบบปกติ  ส่วนมาตรวัดแบบช่วงและเรโช (interval and ratio scale) จะกล่าวถึงรวมๆ กันไป เนื่องจากมาตรวัดทั้งสองมีองศาของความละเอียดในการวัดเดียวกัน   สำหรับทั้งสองมาตรวัดนี้ความแตกต่างระหว่างระดับของประเภทในแต่ละส่วนของมาตรวัดสะท้อนให้เห็นถึง ความแตกต่างที่เท่ากันของคุณสมบัติที่วัด  ดังนั้นทั้งสองมาตรวัดนี้ถือว่ามีหน่วยเท่ากัน  ในมาตรวัดแบบเรโชมีคุณสมบัติที่ต่างไปคือรู้ค่าตำแหน่งจุด 0
          ชนิดของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์นำมาใช้ในการหาความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรขึ้นอยู่กับมาตรที่ใช้วัดของแต่ละตัวแปร  สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ที่เหมาะสมที่จะใช้เมื่อทั้งสองตัวแปรใช้มาตรวัดแบบระดับช่วงหรือเรโช  ได้แก่สัมประสิทธิ์ Person product moment   สหสัมพันธ์แบบ point-biserial ควรจะนำมาใช้เมื่อตัวแปรหนึ่งวัดด้วยมาตรวัดแบบช่วงหรือเรโช และอีกตัวแปรเป็นแบบ dichotomy  สัมประสิทธิ์ phi จะมีความเหมาะสมกว่าเมื่อทั้งสองตัวแปรเป็นนามบัญญัติ dichotomy   ค่า Spearman rho ใช้เมื่อตัวแปรทั้งสองวัดบนมาตรลำดับ และทำการคำนวณโดยใช้คะแนนลำดับชั้น (ranked score) ของตัวแปร  ในกรณีที่มีหลายชั้นลำดับที่ผูกต่อกัน (tied ranks) จะมีสูตรในการแก้ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะของ สัมประสิทธิ์ Pearson Product-moment
          มีดัชนีที่บ่งชี้ความสัมพันธ์นอกเหนือจากสัมประสิทธิ์ของ Pearson product-moment ซึ่งจะรวมเอาสัมประสิทธิ์ที่สามารถนำมาใช้แทนสัมประสิทธิ์ที่กล่าวมาแล้วเป็นเหมือนกับสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสมที่ทำให้การวัดสองตัวแปรมีความสัมพันธ์กัน  เมื่อตัวแปรทั้งสองถูกวัดด้วยมาตรนามบัญญัติแต่ไม่เป็น dichotomy  จำเป็นต้องใช้ตาราง contigency โตกว่าขนาด 2 x 2 เพื่อแสดงข้อมูล  ด้วยข้อมูลเหล่านี้สัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์ที่เหมาะสมคือสัมประสิทธิ์ contigency  ความสัมพันธ์ที่เหมาะสมอีกอย่างคือสัมประสิทธิ์ Cramer’s V   สัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์ชนิดที่3 ที่เหมาะสมในกรณีที่ตาราง contigency โตกว่าขนาด 2 x 2 ได้แก่ค่าสัมประสิทธิ์ lamda  ความสำพันธ์นี้สามารถหาได้สองวิธี วิธีแรกคือ Asymetric อีกวีธีเรียกว่า symetric  ความแตกต่างระหว่างสองวิธีดังกล่าวของ lamda ขึ้นอยู่กับว่านักวิจัยต้องการจะระบุตัวแปรอิสระ และตัวแปรตามหรือไม่
          สัมประสิทธิ์แบบ tetrachoric จะเป็นความสัมพันธ์ที่เหมาะสมเมื่อตัวแปรทั้งสองเป็นแบบ dichotomous แต่อยู่ภายใต้ความต่อเนื่องและการแจกแจงปกติ  เมื่อตัวแปรหนึ่งเป็นแบบ dichotomous ลำดับ และอีกตัวแปรใช้มาตรวัดแบบช่วง  สัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์ที่เหมาะสมจะเป็นแบบ biserial   สัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์ rank-biserial ใช้เมื่อตัวแปรหนึ่งใช้มาตรวัดลำดับ และอีกตัวแปรเป็น dichotomy
          การใช้ความสัมพันธ์ที่กล่าวแล้วทั้งหมดนั้นได้กำหนดว่าความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรเป็นเชิงเส้น  โดยข้อกำหนดเชิงเส้นในความสัมพันธ์นี้ไม่ได้ยึดถือกันเสมอในตัวแปรทางพฤติกรรมศาสตร์  เมื่อไม่เป็นไปตามที่กำหนด (assumption)  การใช้สัมประสิทธิ์ที่แล้วมาจึงไม่เหมาะสม  ควรจะใช้สัมประสิทธิ์ Pearson product-moment หรือไม่เมื่อข้อมูลมีความโน้มเอียงที่จะเป็นแบบ curvilinear ไม่เช่นนั้นแล้วอาจจะประเมินความสัมพันธ์ได้ต่ำระหว่างสองตัวแปร
          ดัชนีของความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรที่มีความสัมพันธ์แบบ curvilinear ได้แก่ค่าสัมประสิทธิ์ eta  ซึ่งมีได้เฉพาะค่าที่เป็นบวกระหว่างค่า 0 และ 1 เช่นเดียวกับสัมประสิทธิ์ Pearson product-moment  ค่า eta ยกกำลังสองตีความได้เป็นสัดส่วนของ variance ใตตัวแปรหนึ่งที่สามารถอธิบายลักษณะ (attribute) variance ในตัวแปรที่สอง

วิธีการเปรียบเทียบหลายทาง

วิจัย สถิติ, คณิตศาสตร์ No Comments »
          การทดสอบสมมุติฐาน null ในการวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียวนั้นมี mean ของ k กลุ่มประชากรจากการเลือกกลุ่มตัวอย่างเท่าๆกันพร้อมๆกัน   null hypothesis ถูก reject ถ้า ค่า F_ratio ที่สังเกตได้เกินค่า critical ของ F  การ reject null hypothesis ชี้ให้เห็นว่าอย่างน้อยที่สุด mean ของกลุ่มตัวอย่างหนึ่งต่างไปจากค่า mean ของ กลุ่มอื่นๆ ทั้งหมด  การเปรียบเทียบหลังการวิเคราะห์ post-hoc หลายทางจะต้องใช้ในการหาว่า mean กลุ่มตัวอย่างใดที่ต่างออกไปอย่างมีนัยสำคัญ  

          การวิเคราะห์หลายทางได้รับการพัฒนาเพื่อควบคุมอัตราข้อผิดพลาด Type I ที่กำหนดค่า a ไว้ก่อน  ด้วยการทดสอบนี้จะแจกแยะการเปรียบเทียบ และการทดลอง ของอัตราการเกิด Type I  อัตราการเกิดข้อผิดพลาดในการเปรียบเทียบ กำหนดระดับของนัยสำคัญด้วย  a   ระดับนัยสำคัญของแต่ละการเปรียบเทียบ  อัดตราข้อผิดพลาดจากการทดลองจะมีโอกาสในการทำให้เกิดข้อผิดพลาด Type I ทุกชุดของการเปรียบเทียบที่เป็นไปได้  เพื่อรักษาระดับข้อผิดพลาดจากการทดลองไม่ให้เกินระดับ แต่ละการเปรียบเทียบสามารถที่จะทดสอบที่ระดับต่ำกว่าระดับ หรือใช้วิธีหนึ่งของ post-hoc  อย่างไรก็ตามการทดสอบที่ต่ำกว่าระดับ a  ค่อนข้างจะตึงตัวเพราะจะทำให้ไม่มีการเปรียบเทียบใดได้นัยสำคัญ

          การทดสอบหลายทางด้วย post-hoc นำมาใช้เมื่อจัดการเปรียบเทียบเป็นคู่ๆที่สนใจ  ได้แก่วิธีของ Tukey/Kramer , Tukey และ Newman-Keuls  ทั้งสามวิธีนี้ใช้ช่วง การแจกแจงแบบ student หรือการแจกแจงื Q   ใช้วิธี Turkey/Kramer  เมื่อขนาดของกลุ่มตัวอย่างไม่เท่ากัน  วิธีการของ Turkey รักษาระดับอัตราการผิดพลาดตามค่า a ที่กำหนดไว้ก่อนโดยใช้การแจกแจงแบบ Q range   วิธีการ Newman-Keuls ยังคงใช้การแจกแจง Q เช่นกันเป็นการแจกแจงที่ใช้ ในแนวทางที่ข้อผิดพลาด Type I ค่อนข้างมากกว่าaE  แต่ยังน้อยกว่าอัตราข้อผิดพลาดจากการเปรียบเทียบสำหรับทุกคู่  ในการเปรียบเทียบที่ใช้ Turkey และ Newman-Keuls  อั้นหลังเป็นวิธีที่ดีมีประสิทธิภาพกว่าในทางสถิติ  แต่วิธีการของ Turkey ให้การควบคุมข้อผิดพลาด Type I ดีกว่า  ถ้าขนาดของกลุ่มตัวอย่างต่างกันเพียงเล็กน้อย  Newman-Keuls และ Turkey ควรได้รับการปรับปรุงโดยแทนที่ด้วย harmonic n สำหรับ n ในตัวหารในสถิติ Q

          ในการเปรียบเทียบที่ซับซ้อนที่มีค่า mean มากกว่า 2 ค่าที่สนใจ วิธีการที่ใช้ควรจะเป็นของ Scheffe’  ซึ่งใช้การแจกแจง F เป็นหลัก  ด้วยวิธีการนี้แต่ละสมมุติฐานจะกำหนดในเทอมของชุดสัมประสิทธิ์เชิงเส้นต่างๆกัน mean จะเรียกว่าเป็นตัว contrasts  สมมุติฐานแต่ละตัวผลรวมของสัมประสิทธิ์จะต้องเท่ากับ 0 ค่าวิกฤตของ F โดยวิธีการของ Scheffe’ หาได้โดยการคูณค่า F ตามตารางด้วย k-1 ที่ทำให้ค่าวิกฤตเพิ่มสูงขึ้น วิธีนี้เป็นวีธีที่คล่องตัวมากและขณะเดียวกันเป็นวิธีที่ค่อนข้างตึงตัวในการทำ post-hoc สำหรับการเปรียบเทียบหลายทาง

          ชุดเฉพาะของสมมุติฐานอาจได้รับการทดสอบ  โดยวางแผนก่อน  การทดสอบเหล่านี้ดำเนินการไปแทนที่จะทดสอบทั้งหมดของ null hypothesis ใน ANOVA  วิธีการเปรียบเทียบสองอย่างที่วางแผนไว้ orthogonal contrasts และ การวิเคราะห์ trend  สถิติที่ใช้ทดสอบทั้งสองวิธี คือ F   ทำการคำนวณได้เช่นเดียวกับวิธี Scheffe’  อย่างไรก็ตามค่าวิกฤต  ไม่ได้เพิ่มขึ้นโดยการคูณค่า k-1 ซึ่งตัว contrasts จะเป็น orthogonal กัน  ผลรวมของสัมประสิทธิ์ ในแต่ละตัว contrasts จะต้องเท่ากับ 0   นอกจากนี้ผลรวมของ cross product สำหรับสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัว contrasts ทั้งสองจะต้องเป็น 0   ถ้า contrasts เป็น orthogonal กัน  สมมุติฐานที่จะทดสอบด้วยตัว contrasts เหล่านี้ เป็นอิสระต่อกัน  และการทดลองที่รักษาระดับข้อผิดพลาด Type I ไม่เกินระดับ a
          ถ้าตัวแปรอิสระใน ANOVA คือ เป็นเชิงปริมาณ  หน้าที่ความสัมพันธ์ระหว่างระดับของตัวแปรอิสระและตัวแปรตามสามารถที่จะตรวจสอบด้วยการวิเคราะห์ trend  จุดประสงค์ของวิธีการนี้เพื่อหาว่ามีความสัมพันธ์กันในแต่ละคู่อย่างมีนัยสำคัญหรือไม่  จากความเป็นเชิงเส้นเมื่อเป็นเช่นนั้น  trend จะเป็นแบบ quadratic หรือ cubic หรือไม่  และต่อไป  การวิเคราะห์ trend เป็นกรณีเฉพาะของ orthogonal contrasts  จำนวนของ trend ที่เป็นไปได้ที่สามารถทดสอบได้เป็นจำนวน k-1 และต่อๆไป ถ้าการทดสอบ trend เชิงเส้นไม่มีนัยสำคัญทางสถิติแล้ว  สรุปได้ว่า trend นั้นแปลกแยกไปจากการเป็นเชิงเส้น มีตัว contrasts มากกว่า สามารถที่จะหานัยสำคัญทางสถิติในการวิเคราะห์ trend เดียวกัน

 

การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง และการเปลี่ยนแปลง

วิจัย สถิติ, คณิตศาสตร์ No Comments »

       เพื่อที่จะอธิบายการแจกแจงของข้อมูลได้ชัดเจน  มีองค์ประกอบ 3 ประการที่ควรทราบคือ ความรู้เกี่ยวกับลักษณะหรือรูปร่างการกระจาย  ตำแหน่งการวัดบนมาตรวัด และการเปลี่ยนแปลงค่าข้อมูลหรือคะแนนที่วัด  ลักษณะรูปร่างของการกระจายนั้นมองในรูปของลักษณะของความถี่ข้อมูล  อาจอยู่ในรูปที่สมมาตร เบ้ซ้ายหรือขวา
            ความโน้มเอียงเข้าสู่ส่วนกลางของชุดข้อมูล  ที่ซึ่งการวัดได้ใช้มาตรวัดอย่างหนึ่ง
ตัวชี้ที่บ่งถึงการเข้าสู่ส่วนกลางที่ง่ายที่สุดคือฐานนิยม (Mode)  ซึ่งนิยามว่าเป็นค่าคะแนนที่มีความถี่มากที่สุด  หาได้โดยการตรวจสอบข้อมูล  การวัดเข้าสู่ส่วนกลางอีกอย่างหนึ่งคือมัธยฐาน (Median) นิยามว่าเป็นค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับกันไป  ได้แก่ตำแหน่งบนมาตรวัดที่คลุม 50 % ของค่าคะแนนหรือที่ 50 เปอร์เซ็นไตล์ซึ่งเป็นจุดบนมาตรวัด    ส่วนการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางอย่างที่สามคือค่าเฉลี่ย (Mean) ซึ่งกำหนดได้จากผลรวมของค่าคะแนนหารด้วยจำนวนค่าคะแนน   ค่าเฉลี่ยมีลักษณะสำคัญสองประการคือ (1)ผลรวมค่าการเปลี่ยนแปลงไปจากค่าเฉลี่ยมีค่าเป็น 0   (2) ผลรวมค่ายกกำลังสองของค่าที่ต่างไปจากค่าเฉลี่ยมีค่าน้อยกว่าผลรวมการเปลี่ยนแปลงรอบค่าอื่นๆโดยรวม 
การวัดค่าเข้าสู่ส่วนกลางที่เหมาะสมนั้นขึ้นอยู่กับมาตรที่ใช้วัดการเปลี่ยนแปลง  ค่า Mode เหมาะสำหรับข้อมูลที่เป็นนามบัญญัติหรือชื่อ  Medium และ Mode เหมาะสมกับข้อมูลที่มีลำดับ  เมื่อข้อมูลเป็นอันตรภาคชั้นและแบบ ratio ค่า Mean, Median และ Mode อาจนำมาใช้ได้  ข้อที่ควรคำนึงถึงในการเลือกการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง  คือการวัดที่จะนำไปใช้  ถ้าวัตถุประสงค์เป็นการใช้เพื่อการบรรยาย   การวัดที่อธิบายข้อมูลได้ดีที่สุดจะถูกนำมาใช้  ถ้ามีวัตถุประสงค์ที่จะคาดคะเนจากกลุ่มตัวอย่างข้อมูล (Sample) เสมือนว่าได้วัดจากประชากรจริงๆ  การใช้ค่า Mean จะมีข้อได้เปรียบกว่าการใช้ค่าการวัดเข้าสู่ส่วนกลางแบบอื่น  เพราะสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆได้ง่าย  ซึ่งการวัดแบบอื่นกระทำได้ยาก ทั้ง Mode และ Medium จะไม่ค่อยมีผลต่อค่าสุดโต่งในชุดข้อมูล  แต่จะมีผลกับค่า Mean
            การวัดการเปลี่ยนแปลงเป็นค่าอันตรภาคชั้นบนมาตรวัด  ที่ระบุให้ทราบถึงการเปลี่ยนแปลงการกระจายของข้อมูล  การวัดการเปลี่ยนแปลงที่ง่ายที่สุดคือค่า Range ค่านี้มีขีดจำกัดอยู่ที่มีความโน้มเอียงที่จะเปลี่ยนแปลงตามขนาดของกลุ่มข้อมูล  กลุ่มใหญ่มีความโน้มเอียงที่ค่า Range สูงกว่า  ความไวต่อการเปลี่ยนแปลงของทุกค่าข้อมูลในการกระจายจะต้องมีส่วนที่บอกให้ทราบว่าแต่ละค่าข้อมูลนั้น  มีค่าความแตกต่างไปจากค่า Mean เท่าใด  ค่าคะแนนที่เปลี่ยนแปลงไปกำหนดให้เป็นค่าความแตกต่างระหว่างค่าคะแนนจริงกับค่า Mean   เมื่อพิจารณาผลรวมค่าคะแนนที่เปลี่ยนแปลงไป  ผลรวมนี้ไม่สามารถที่จะใช้วัดการเปลี่ยนแปลงโดยตรงได้  เพราะผลรวมมีค่าเป็น 0 อย่างไรก็ตามยังเป็นไปได้ที่จะหาหรือวัดค่าการเปลี่ยนแปลงโดยการพิจารณาค่าสัมบูรณ์ของการเปลี่ยนแปลง
            ค่าความเบี่ยงเบนจากค่า Mean หาได้จากค่าเฉลี่ยของค่าคะแนนที่เปลี่ยนแปลงในรูปของค่าสัมบูรณ์  ทำให้เป็นไปได้ที่จะใช้ค่า Mean ในการเปรียบเทียบการเปลี่ยนแปลงของการกระจายแบบต่างๆ  การกระจายใดที่มีค่า Mean มากกว่า  ค่าการเปลี่ยนแปลงมักจะสูงตามไปด้วย ปัญหาหลักที่เกี่ยวข้องกับการใช้ค่าเบี่ยงเบนจากค่า Mean  ได้แก่ความยุ่งยากในการจัดการค่าสมบูรณ์ในทางพีชคณิต  เพื่อให้การวิเคราะห์ได้ดีขึ้น  ทางหนึ่งที่ทำได้โดยการยกกำลังสองค่าการเปลี่ยนแปลงจากค่า Mean  ซึ่งได้แก่ค่า Variance ของคะแนน  ดังนั้น Variance จึงกำหนดได้เท่ากับค่าเฉลี่ยของค่าการเปลี่ยนแปลงยกกำลังสอง  เขียนเป็นสูตรทางพีชคณิตได้ดังนี้
           ผลรวม (X-m)2/

ในการคำนวณค่า Variance ของกลุ่มตัวอย่างจะหารด้วยค่า N-1 เพื่อหาค่าประมาณของ Variance ซึ่งเป็นค่าที่ใกล้เคียงความจริงมากที่สุดเขียนเป็นสูตรได้คือ
           ผลรวม (X-X )2/N-1 

จะเห็นว่า Variance มีหน่วยการวัดเป็นกำลังสอง  เช่นความสูงของคนเป็นเซ็นติเมตร  ค่า Variance ของความสูงจะมีหน่วยเป็นเซ็นติเมตรกำลังสอง  และค่ารากที่สองหรือถอดรูทค่าของ Variance จะได้ค่าที่เรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตราฐาน (Standard Deviation: S.D.) ซึ่งถื่อว่าเป็นค่าที่ใช้วัดการเบี่ยงเบนมีหน่วยวัดเป็นเซ็นติเมตร  ในกรณีการวัดค่าความสูงของคนเป็นต้น
      

การทดสอบสมมุติฐาน

วิจัย สถิติ, คณิตศาสตร์ No Comments »
การทดสอบสมมุติฐาน t-test
การทดสอบ null hypothesis 

จะ reject เมื่อ ค่าโอกาสที่ผิดพลาดหรือค่า p อยู่ในบริเวณเกินช่วงความเชื่อมั่น ที่ยอมรับได้  พิจารณา     

/km/ttest.jpg                                                                                                 

          เมื่อ reject ค่า p ที่ได้น้อยกว่า 0.05 เพราะว่าถ้ามากกว่าจะเข้าไปอยู่ในช่วง 0.95 ซึ่งถือว่าค่า mean ไม่แตกต่างกัน

การตีความ t-test
          ค่าระดับนัยสำคัญที่สังเกตได้บอกให้ทราบว่าโอกาสที่สังเกตพบความแตกต่างจะมาจากโอกาส(chance)  ค่าระดับนัยสำคัญที่สังเกตได้คือค่าโอกาสความน่าจะเป็นที่กลุ่มตัวอย่างของเราสามารถจะแสดงความแตกต่างอย่างน้อยที่สุด ขณะเดียวกันจะมีขนาดโตเท่ากับที่สังเกตได้เมื่อค่า mean ทั้งสองยังคงเท่ากันจริง  เมื่อระดับนัยสำคัญที่สังเกตได้น้อยตีความได้ว่า mean ทั้งสองจะไม่เท่ากันในประชากร 

          จากแผนภาพข้างบนถ้าระดับที่สังเกตได้มากกว่า 0.5 ซึ่งไปตกอยู่ในช่วงความเชื่อมั่น 0.95 ที่ไม่มีความแตกต่าง  แต่เมื่อค่าน้อยกว่า 0.05 อยู่นอกค่าความเชื่อมั่นที่ให้มีความแตกต่าง  เพราะค่า t หามาจากผลต่างของค่า mean ของทั้งสองกลุ่มหารด้วยค่า standard error

การวัดความสัมพันธ์

วิจัย สถิติ, คณิตศาสตร์ 3 Comments »

สัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์ (r) Pearson product-moment กำหนดขึ้นเป็นตัวชี้ที่อธิบายธรรมชาติของความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปร ช่องของค่า r คลุ่มตั้งแต่ +1 ถึง -1  เครื่องหมายสัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์ชี้ให้เห็นถึงทิศทางของสโลปของข้อมูลของสแกตเตอร์แกรมที่พล็อตระหว่างสองตัวแปรเครื่องหมายบวกชี้ให้เห็นถึงแนวโน้มของคะแนนต่ำของตัวแปรที่หนึ่งมีส่วนร่วมกับคะแนนที่ต่ำของต้วแปรที่สอง  และสำหรับคะแนนที่สูงสำหรับตัวแปรที่หนึ่งมีส่วนร่วมกับคะแนนที่สูงของตัวแปรที่สอง  ในอีกทางหนึ่งสัมประสิทธิสหสัมพันธ์เชิงลบบอกให้ทราบว่าคะแนนที่ต่ำของตัวแปรหนึ่งจะมีส่วนร่วมกับคะแนนที่สูงของของอีกตัวแปร และคะแนนที่สูงของตัวแปรหนึ่งมีส่วนร่วมกับคะแนนที่ต่ำของอีกตัวแปร

ค่าสัมประสิทธิสหสัมพันธ์สัมบูรณ์ (ไม่ได้พิจารณาเครื่องหมาย) ได้บ่งชี้ขนาดของความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปร เป็นหลักในการปฏิบัติโดยประมาณโดยที่ค่า

0.00-0.30(หรือ 0.00 ถึง -0.03)แสดงความสัมพันธ์น้อยมาก

0.30-0.50(หรือ-0.30ถึง-0.50)แสดงความสัมพันธ์น้อย

0.50-0.70(หรือ-0.50ถึง-0.70)แสดงความสัมพันธ์ปานกลาง

0.70-0.90(หรือ-0.70ถึง-0.90)แสดงความสัมพันธ์สูง

0.90-1.00(หรือ-0.90ถึง-1.00)แสดงความสัมพันธ์สูงมาก

ข้อตกเบื้องต้นภายใต้การใช้ Pearson r คือตัวแปรทั้งสองที่มีสหสัมพันธ์กันจะต้องมีความสัมพันธ์เชิงเส้นต่อกัน ซึ่งหมายความว่าจุดข้อมูลบน scattergram มีความโน้มเอียงที่จะตกลงบนเส้นตรง  และไม่สามารถกล่าวได้ว่าทุกจุดจะต้องตกลงเป็นเส้นตรงทั้งหมด  แต่จุดเหล่านั้นจะแสดงการกระจายรอบเส้นตรงแบบสุ่ม

สำหรับตัวแปรในวิทยาศาสตร์พฤติกรรมที่ไม่เป็นเชิงเส้นจะมีความสัมพันธ์แบบเคอวิลิเนียร์ (curvilinear)  อย่างไรก็ตามถ้าใช้ pearson r คำนวณสำหรับของมูลแบบเคอวิลิเนียร์แล้ว สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์จะได้ค่าต่ำกว่าที่ควรจะเป็น (under estimate)  ดังนั้น pearson r จึงไม่เหมาะที่จะนำไปใช้กับข้อมูลแบบเคอร์วิลิเนียร์

ความเป็นเนื้อเดียวกัน (homogeneity) ของกลุ่มตัวแปรหนึ่งหรือสองตัวแปรที่จะที่จะให้สัมพันธ์กันจะมีผลต่อขนาดของ pearson r ถ้ากลุ่มเป็นเนื้อเดียวกัน (หมายความว่าค่าคะแนนมีความคล้ายใกล้เคียงกัน ดังนั้นจึงกระจายน้อย) ความแปรปรวนของคะแนนมีน้อย  ขณะที่ความแปรปรวนเข้าใกล้ศูนย์ ตัวแปรจะเข้าสูงตัวคงที่ ถ้าแต่ละตัวแปรหรือทั้งสองไปเป็นค่าคงที่แล้วสูตรที่ใช้ในการหาค่า r จะไม่มีความหมายใดๆ  ดังนั้นเมื่อกลุ่มเป็นเนื้อเดียวกันผลของสัปประสิทธิ์สหสัมพันธ์จะมีค่าน้อยกว่ากลุ่มที่ค่าคะแนนไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

แม้ว่าสัมประสิทธ์สหสัมพันธ์เป็นตัวบ่งชี้ความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปร ไม่จำเป็นที่คะแนนของตัวแปรหนึ่งเป็นสาเหตุให้ได้คะแนนในตัวแปรที่สอง  อาจจะมีตัวแปรที่สามหรือมีการผนวกตัวแปรอื่นที่อาจเป็นสาเหตุให้สังเกตเห็นความสัมพันธ์ การเป็นที่ตัวแปรหนึ่งเป็นสาเหตุของอีกตัวแปรจะต้องนั้นจะต้องพิจารณาตัวแปรอย่างระมัดระวังในบริบทเฉพาะของการศึกษา

การตีความที่เหมาะสมของค่า r อาจกำหนดให้เทอมของการใช้ร่วมกันของความแปรปรวน (variance) ของตัวแปรสองตัวคือ กำลังสองของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ r^2 เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของการหาค่า (coefficient of determination) และกำหนดให้เป็นสัดส่วนของความแปรปรวนในตัวแปรหนึ่งที่สามารถมีส่วนร่วมสัมพันธ์กับความแปรปรวนในอีกตัวแปรหนึ่ง  ตัวอย่างเช่นมีความสัมพันธ์ระหว่างระหว่างอายุกับความแข็งแรง (physical strength) สำหรับคนกลุ่มหนึ่งในแต่ละบุคคล 0.50 ด้งนั้น r^2 เท่ากับ 0.25 จึงสรุปสำหรับตัวอย่างนี้ได้ว่า 25 เปอร์เซ็นต์ของความแปรปรวนในความแปรปรวนที่มีส่วนร่วมกับอายุของบุคคล ส่วนที่เหลืออีก 75 เปอร์เซ้นต์ คือความแข็งแรงของแต่ละบุคคลไม่ได้มีส่วนร่วมกับอายุ อาจมีส่วนกับองค์ประกอบอื่นที่ไม่ได้ทำการวัดในที่นี้ เช่นสุขภาพของแต่ละบุคคล แรงกระตุ้น หรือการฝึกหัดทางกายภาพ เป็นต้น

การถดถอยเชิงเส้นและการทำนาย

วิจัย สถิติ, คณิตศาสตร์ No Comments »

 การศึกษาเรื่องการถดถอยเชิงเส้นก็เพื่อใช้ในการทำนายหรือประมาณการคะแนนของตัวแปรตัวหนึ่งขึ้นอยู่กับการรู้ค่าคะแนนของอีกตัวแปรหนึ่ง  การถดถอยเชิงเส้น สมการ Slope  Intercept ของเส้นตรงคือ Y = bX + a โดยที่ Y เป็นค่าคะแนนทำนาย  b เป็น slope ของเส้น  a คือระยะบนแกน Y ห่างจากแกน X ซึ่งเป็นที่ที่เส้นกราฟตัดกับแกน Y   slope กำหนดให้เป็นการเปลี่ยนค่าใน Y สัมพันธ์กับการเปลี่ยนค่าไปในหนึ่งหน่วยของแกน X  ในการทำนายค่าจะมีอยู่สองขั้นตอนคือการหาสมการการถดถอย  แล้วใช้ค่าสมการในการทำนายค่าคะแนน
          ในการทำนายค่า Y จาก X  slope ของเส้นการถดถอยกำหนดด้วยค่า b ซึ่งรู้จักกันในนามสัมประสิทธิ์การถดถอย  ค่าห่างแกน X ไปที่เส้นถดถอยตัดแกน Y คือค่า a  หรือเรียกว่าค่าคงที่ของการถดถอย  เส้นการถดถอยที่ดีที่สุดถือว่าเป็นเส้นที่จุดค่าคะแนนตกบริเวณรอบๆใกลเส้นนี้มากที่สุด  สอดคล้องกับค่ายกกำลังสองน้อยที่สุด (least square)  หมายถึงว่าผลรวมค่ายกกำลังสองของค่าคะแนนที่ห่างจากเส้นถดถอยมีค่าต่ำสุด
เมื่อทำนายค่าคะแนนมาตราฐานบน Y จากค่าคะแนนมาตราฐานบน X จะเท่ากับค่าคะแนนมาตราฐานบนแกน X คูณด้วยค่าสหสัมพันธ์ระหว่างค่า X และ ค่า Y  สูตรที่ใช้ในการคำนวณค่าคะแนนมาตราฐานจากค่าคะแนนมาตราฐานคือ  Zy  = (r)Zx
ค่าความผิดพลาดในการทำนายกำหนดจากค่าความแตกต่างจากค่าคะแนนจริงบนแกน Y กับค่าคะแนนที่ทำนายไว้ คือ e = (Y-YA)  ในเรื่องการการถดถอยเชิงเส้นเราสนใจการแจกแจงค่าคะแนนความผิดพลาดเช่นเดียวกับ variance ค่าเบี่ยงเบนมาตราฐานของคะแนนเหล่านี้  ค่า Mean ของการแจกแจงของค่าผิดพลาดในการทำนายนี้เท่ากับ 0 ส่วนค่าประมาณการส่วนเบี่ยงเบนมาตราฐานของความผิดพลาดเรียกว่า ค่าผิดพลาดมาตราฐาน (Standard Error)ของการทำนาย  ข้อตกลงเบื้องต้นในการพัฒนาและการใช้เส้นการถดถอยคือ ค่าตัวแปร X และค่าตัวแปร Y มีความสัมพันธ์กันในเชิงเส้น  และค่าผิดพลาดในการทำนายก็มีการแจกแจงปกติ  นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติที่เรียกว่า homoscedasticity ซึ่ง variance ของค่าความผิดพลาดในการทำนายที่ทุกๆค่าของ X มีค่าเท่ากัน  ทั้งนี้เพราะว่าเราสามารถที่จะทำนายค่า Y จากที่ทราบค่า X ก่อนไม่ได้หมายความว่า X เป็นสาเหตุของ Y

การประมาณค่า mean จากกรณีกลุ่มตัวอย่างเดียว

วิจัย สถิติ, คณิตศาสตร์ No Comments »

   มีความเกี่ยวข้องกับการทดสอบสมมุติฐานค่าเฉพาะหนึ่งของประชากร  ซึ่งเป็นค่าประมาณของพารามีเตอร์ของประชากร   โดยกระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับค่าสถิติที่คำนวณจาก กลุ่มตัวอย่างเพื่อประมาณค่าพารามีเตอร์ของประชากรที่สุ่มตัวอย่างมา  จุดที่ประมาณค่ามาเป็นค่าเดี่ยวๆ  ที่แทนการประมาณค่าที่ดีที่สุดของพารามีเตอร์   ตัวอย่างเช่นเมื่อต้องการประมาณค่าเฉลี่ย m ของประชากร แล้วใช้ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง (X) เป็นค่าประมาณ ช่วงของการประมาณค่าเป็ณช่วงที่อยู่รอบจุดของค่าประมาณ  ช่วงของค่าเหล่านี้เป็นค่าเฉพาะที่บ่งบอกความเชื่อมั่นว่ามีค่าพารามีเตอร์อยู่ในช่วงนี้เรียกว่า ช่วงความเชื่อมั่น (confident interval) 
          สูตรทั่วไปของช่วงความเชื่อมั่นคือ
CI  =  statistics ± (critical value)(standard error of statistic)
          เมื่อประมาณค่า mean ของประชากร เมื่อทราบค่า variance (s2 ) สูตรจะเป็นดังนี้
CI  =  X_ ± (Zcv) ( Sx_)
          ระดับของค่าความเชี่อมั่นที่ใช้ในการสร้างช่วงความเชื่อมั่นนั้น กำหนดเป็นค่าควบคู่กับระดับนัยสำคัญ  นั่นคือ 1-a   ดังนั้นเมื่อมีการทดสอบ null hypothesis ที่เหมาะสมที่ระดับ a=0.5   ค่าระดับความเชื่อมมั่นที่สอดรับกันควรจะเป็น 1-0.05 = 0.95
          เมื่อทราบ variance ของประชากร  กำหนดค่าวิกฤตด้วย Zcv ซึ่งหาได้โดยใช้การแจกแจงปกติมาตราฐาน  อย่างไรก็ตามเมื่อไม่ทราบ variance ของประชากร จะใช้ค่า s2 เป็นค่าประมาณสูตรสำหรับความเชื่อมั่นจะเป็น
          CI  = X_ ± (tcv)(sx_)
          จะเห็นว่าค่าวิกฤตกำหนดด้วย tcv หาได้โดยใช้การแจกแจงแบบ t
          มีความสัมพันธ์ระหว่างการทดสอบสมมุติฐานและการประมาณค่า  ตัวอย่างเช่น  ถ้าเราทดสอบ null hypothesis H0: m = a  และทำการ reject ช่วงความเชื่อมั่นที่สอดรับกันจะไม่มีค่า a ที่ตั้งสมมุติฐานไว้   ในทางที่กลับกันถ้าสมมุติฐานไม่ reject = ช่วงความเชื่อมั่นจะมีค่า a อยู่ด้วย 
          ความละเอียดของค่าช่วงความเชื่อมั่นสามารถนำมาใช้ประมาณค่าพารามีเตอร์ของประชากร  ถือว่าเป็นหน้าที่หนึ่งของค่าความละเอียดในการวัดทางสถิติของการประมาณค่า  ยิ่งมีช่วงกว้างของช่วงความเชื่อมันน้อยก็จะยิ่งมีความละเอียดใกล้เคียงในการประมาณค่ามากเท่านั้น  ช่วงกว้างของค่าความเชื่อมั่นสามารถที่จะลดลงได้โดยการเพิ่มขนาดของกลุ่มตัวอย่าง

การแจกแจงปกติ (normal distribution)

วิจัย สถิติ, คณิตศาสตร์ No Comments »

ตัวแปรมากมายกล่าวได้ว่ามีการแจกแจงแบบปกติ  การแจกแจงแบบนี้ไม่ได้เป็นการแจกแจงเดี่ยวแต่เป็นการแจกแจงกลุ่ม   แต่ละกลุ่มสามารถหาได้โดยค่า Mean และ S.D.  การแจกแจงแบบนี้มีคุณสมบัติที่เรียกว่า Unimodal และ Symmetrical มีรูปทรงแบบระฆังคว่ำมีจุดสูงสุดที่ค่า Mean  การแจกแจงมีความต่อเนื่องและมี asymptotic เมื่อเขียนกราฟ
          เพื่อให้การดำเนินการกับการแจกแจงปกติแบบต่างๆกัน  อันมีค่า Mean และ S.D ต่างกันอย่างมีประสิทธิภาพจึงได้มีการพัฒนาการแจกแจงปกติมาตราฐาน  ที่มีการแจกแจงของคะแนนมาตราฐานด้วยค่า Mean เท่ากับ 0 และค่าเบี่ยงเบนมาตราฐานเท่ากับ 1   การใช้คุณสมบัติหน่วยของ normal curve เหล่านี้  ทำให้เราหาสัดส่วนของคะแนนที่อยู่ระหว่างค่าที่กำหนดให้สองค่าในการแจกแจง  เปอร์เซ็นไตล์และเปอร์เซ็นไตล์แรงค์ (percentile and percentile rank)สามารถคำนวณหาได้จาก curve การแจกแจงปกติมาตราฐาน
การใช้เปอร์เซ็นไตล์มีลำดับของการแจกแจงของข้อมูล  ทำให้มีข้อจำกัดในการวิเคราะห์ต่อไป  ขณะที่การใช้ค่าคะแนนมาตราฐานได้ช่วยแก้ปัญหานี้  เมื่อเราแจกแจงความถี่แบบปกติหรือใกล้เคียงกับรูปทรงการแจกแจงความถี่ตามปกติ

สถิติและการประยุกต์ใช้

คณิตศาสตร์ No Comments »

สถิติเป็นส่วนหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ มีการนำวิชาสถิติไปใช้ในงานต่างๆ มากมาย มีอัตราเพิ่มมากกว่าการใช้ความรู้ด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์  โดยเฉพาะอย่างยิ่งการนำสถิติไปใช้ในการออกแบบการทดลอง (experimental design) และการสำรวจ (Survey) ใช้ความรู้ในด้านนี้ในการสำรวจความคิดเห็นของคนกลุ่มเล็กที่ถูกเลือกมาเป็นตัวอย่าง แล้วนำผลที่ได้ไปสรุปถึงคนกลุ่มใหญ่ (generalization) โดยมีข้อที่จะต้องพิจารณาคือเราจะแน่ใจได้อย่างไรว่าการนำผลจากการสำรวจตัวอย่างไปพยากรณ์กลุ่มประชากรมีความถูกต้อง  การตอบคำถามนี้ของนักสถิติทำได้โดยใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น (probability theory) ซึ่งเป็นวิชาทางคณิตศาสตร์ที่มีความสำคัญเป็นพื้นฐานของทฤษฎีทางสถิติหลายอย่าง  เช่นการหาความสัมพันธ์ของความน่าจะเป็นกับสถิติพัฒนาขึ้นเป็นทฤษฎีแถวคอย (queuing theory) ทำให้สามารถทำนายเหตุการณ์ของสิ่งของ หรือจำนวนคนที่อยู่ในระบบแถวคอย  โดยทราบอัตราเฉลี่ยของสิ่งที่จะเข้าไปในระบบนั้น  การทำนายระยะเวลาในการรอคอยเพื่อขอรับบริการ จากหน่วยงานต่างๆ เช่นธนาคาร เทศบาล โรงพยาบาลเป็นต้น การทำนายช่วงเวลาการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณไฟจราจรเป็นต้น  ซึ่งจะทำให้เราสามารถคาดระยะเวลาน้อยที่สุดในการรอบคอย ในการประกอบกิจกรรมต่าง ๆ กัน

ที่เห็นได้ชัดในสาขาการประกันภัย นั้นการคาดหมายการเกิดขึ้นของเหตุการณ์มีความจำเป็นอย่างยิ่งต่อการประกอบธุรกิจประกันภัย เช่นอัตราการรอดชีวิตของคนในแต่ละพื้นที่ อัตราการจ่ายเงินชดเชยให้แก่ผู้เอาประกัน เป็นต้นโดยอาศัยความรู้ทางด้านแคลคูลัส ความน่าจะเป็น และสถิติ  นอกจากนี้สถิติยังนำมาใช้ในด้านอื่นๆอีกมากมาย การแพทย์ ธุรกิจ วิทยาศาสตร์ ฯลฯ

ตัวแบบทางคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ No Comments »

ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Modelling) เป็นการหาคำตอบของสถานการณ์ต่างๆ โดยที่สถานการณ์นั้นๆ ยังไม่เกิดขึ้น ซึ่งต้องใช้ความรู้ทางพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) แคลคูลัสและสถิติ ตัวแบบทางคณิตศาสตร์อาจช่วยให้หาคำตอบที่แท้จริงได้ หรืออาจจะหาค่าได้โดยประมาณ   ตัวแบบทางคณิตศาสตร์สามารถนำไปใช้ประโยชน์ได้ในสาขวิชาต่างๆ มากมาย ทางวิทยาศาสตร์ทุกสาขา ทางเศรษฐศาสตร์ ธุรกิจ วิศวกรรม สังคมศาสตร์ จิตวิทยา วิทยาการคอมพิวเตอร์ การแพทย์ ผังเมือง และอื่นๆ มีนักเศรษฐศาสตร์ Leontieff และ Samuelson ได้รับรางวัลโนเบลจากผลงานการสร้างตัวแบบทางคณิตศาสตร์เพื่อทำนายผลกระทบทางเศรษฐกิจ โดยใช้พีชคณิตศาสตร์เชิงเส้น และแคลคูลัสเข้าช่วย ในการสร้างตัวแบบทางคณิตศาสตร์  ปัจจุบันสามารถนำคอมพิวเตอร์มาช่วยในการจำลองเหตุการณ์โดยเลียนแบบจากสถานการณ์จริงแล้วเพิ่มเงื่อนไขต่างๆ ที่ต้องการลงไป นำมาใช้ประโยชน์ในบางสถานการณ์ได้เป็นอย่างดี

การคูณด้วยนิ้วมือ

คณิตศาสตร์ No Comments »

จากนิ้วมือสิบนิ้วมนุษย์ได้คิดค้นลูกคิดที่ช่วยแบ่งเบาภาระในการคำนวณ บวก ลบ คูณหารได้ มาเป็นการคำนวณแบบใหม่ และการนับนิ้วยังทำให้ค้นพบความสัมพันธ์ระว่างปริมาณกับกระบวนการนับ

เมื่อเลขจำนวนเกี่ยวข้องกับการจัดลำดับแล้ว สามารถที่จะคิดกฏต่างๆสำหรับการบวกและการคูณด้วยนิ้วมือคนได้  ถ้าสมมุติว่าเราจำสูตรคูณได้แค่แม่ 5 ถ้าจะหาคำตอบ 8 x 7 กฏการคูณจะเป็นดังนี้ 
     ให้ลบ 5 ออกจากเลขแต่ละตัวที่คูณกันจะได้ 3 และ 2  โดยใช้วิธีการ งอนิ้วมือซ้าย 3 นิ้ว และงอนิ้วมือขวา 2 นิ้ว ผลบวกของนิวมือที่งอ 3+2=5 จะเป็นผลลัพธ์ของเลขหลักสิบ  และผลคูณของนิ้วที่ไม่ได้งอ 2×3 = 6 เป็นคำตอบที่หลักหน่วยถ้าหารกันก็ให้ทำกลับกัน

หลักคณิตศาสตร์เบื้องต้น

คณิตศาสตร์ No Comments »

          คอนเซ็ปท์ทางคณิตศาสตร์และการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น  การคำนวณทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่สำคัญยิ่งคือเลขคณิตพื้นฐาน 4 ประการคือ การบวก การลบ การคูณ และการหาร  เมื่อนำการกระทำทางเลขคณิตไปใช้กับเลขจำนวนจริง  จะต้องพิจารณาเครื่องหมายทางพีชคณิตที่วางไว้หน้าตัวเลข  ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขหนึ่งๆซึ่งเป็นค่าตัวเลขที่ไม่เกี่ยวข้องกับเครื่องหมายทางพีชคณิต
            คุณสมบัติ 3 ประการที่ครอบคลุมการกระทำทางคณิตศาสตร์ ได้แก่กฏการสลับที่ (commutative) กฏการรวมกลุ่ม (associative) และกฏการกระจาย (distributive)   ตัวอย่างเช่น
 
กฏการสลับที่
X + Y = Y + X   สำหรับการบวก    และ    XY  =  YX   สำหรับการคูณ
กฏการรวมกลุ่ม 
W + (X + Y) =  (W + X) + Y  สำหรับการบวก  และ  W(X.Y) = (W.X)Y สำหรับการคูณ
กฏการกระจาย
Y(W + X) = YW + YX
            กฏเกี่ยวกับการบวกเพื่อหาผลรวมเป็นสิ่งสำคัญอีกอย่างหนึ่งในการศึกษาทางสถิติ 
กฏข้อ 1
SCX i = CSXi    
การหาผลรวมระหว่างตัวคงที่คูณกับค่าX สามารถที่จะดึงตัวคงที่ออกมา คูณกับค่าผลบวกของค่า X  
กฏข้อที่ 2
SC = NC
ผลรวมของค่าคงที่ค่าเดียวกันจะมีค่าเท่ากับค่า จำนวนครั้ง N (ที่จะบวกค่าคงที่ C) คูณกับค่าคงที่ C   
กฏข้อที่ 3   
S (Xi + Yi)  =  SXi + SY  
ผลรวมของผลรวมตัวเลข 2 จำนวนจะเท่ากับผลรวมของตัวเลขแต่ละตัวบวกกัน

กฏการคูณหารเลขยกกำลัง

คณิตศาสตร์ No Comments »

กฏของเลขยกกำลัง
1/ การคูณ
ถ้าคูณเลขสองเทอมที่มีฐานเลขเดียวกันแล้วจะให้ผลลัพธ์ด้วยการนำเลขยกกำลังแต่ละเทอมมาบวกกัน

ตัวอย่างเช่น
x2 . x3  = x5
34.36  = 310
 2/ การหาร

ถ้าหารเลขสองเทอมที่มีฐานเลขเดียวกันแล้วจะให้ผลลัพธ์ นำเลขยกกำลังแต่ละเทอมมาลบกัน

 ตัวอย่างเช่น
x5 – x2 = x3
38 – 33 = 35

 

 


   Designed By:  SadhWeb Directory  &  WP Theme

Sponsored By:  Affiliate Marketing Blog  &  Paid Directory